Essential Mathematics for Computational Design 20 곡선과 곡면

3. 매개변수에 의한 곡선과 곡면(Parametric Curves and Surfaces)   소개 파라메트릭 곡선(Parametric Curve)는 부드러운 형태의 곡선을 매우 간단하면서도 직관적으로 표현할 수 있는 방법입니다. 또한 다른 방식의 곡선 표현에 비하여 그 수정이 훨씬 쉽습니다. 예를 들어, 1차인 폴리 라인(Polylilne)으로 부드러운 곡선을 표현하기 위해선 이것을 분절된 직선들의 연속으로 나타내게 됩니다. 이를 표현하기 위하여 많은 점들이 필요하게 되며 […]

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Essential Mathematics for Computational Design 19 평면 투영 변환

평면투영변환(Planar Projection transformation) 직관적으로 생각해보면, 3d 좌표계 내에서 xy 평면 위의 점 P(x,y,z)는 z값이 0인 점 Pxy(x,y,0)와 같습니다. 이와 유사하게, xz 평면으로 점P를 투영(Projection)하면, 이것의 좌표는 Pxz(x,0,z)이 됩니다. yz평면으로의 투영은 Pxz = (0,y,z) 입니다. 이러한 것을 정투영(orthogonal projection)[1]이라고 합니다. 하나의 곡선을 인풋으로 이것를 ‘평면투영변환’하면 그 결과물로 평면 위에 곡선을 얻게 됩니다. 아래는 곡선이 xy평면에 투영되는 […]

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Essential Mathematics for Computational Design 18 전단 변환

전단변환(Shear transformation) 3d에는 기본적으로 3개의 축이 있습니다. 기하체에 전단(shear)을 적용시키면, 전단하는 축을 제외한 나머지 두 축의 좌표값을 일정한 비례로 변환하게 됩니다. 예를 들어, z축을 따라 기하체를 전단변환 시키면 z축을 제외한 x, y축의 좌표가 변환됩니다. 1. y 좌표를 유지한 체로 x축과 z축으로 전단시킨 경우   2. x 좌표를 유지한 체로 y축과 z축으로 전단시킨 경우   3. […]

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Essential Mathematics for Computational Design 16 회전 변환

회전 변환(Rotation transformation) 이번 장에서는 z축을 중심으로 객체를 회전 시키는 것의 원리를 설명하고 이를 어떻게 행렬로 표현하는 지를 설명하고 있습니다. x = d cos(a) —(1) y = d sin(a) —(2) x’ = d cos(b+a) —(3) y’ = d sin(b+a) — (4) 이 중 (3)번과 (4)번을 삼각함수를 이용하여 풀어서 쓰면 다음과 같습니다. x’ = d cos(a)cos(b) […]

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Essentail Mathematics for Computational Design 15 아핀 변환

아핀변환(affine transformation)  이번 장에서는 특수하면서도 흔하게 사용되는 변환의 종류인 아핀변환(affine transformation)에 대해 다루게 될 것입니다. 하나의 가하체에 아핀변환을 적용하게 되면 변환된 기하체는 원래 기하체와 평행관계를 유지하게 됩니다. 기하체의 이동, 회전, 스케일(scale), 그리고 shear 등이 아핀변환에 해당됩니다. 이동 변환(Translation (move) transformation) 하나의 점을 벡터를 이용하여 이동시키는 것의 계산은 다음과 같습니다. P’ = P + V   […]

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Essential Mathematics for Computational Design 14 행렬의 곱

행렬의 곱(Matrix multiplication) 행렬의 곱은 기하체의 변형에 사용됩니다. 일련의 변환행렬들을 곱하여 기하체의 변형에 사용될 변환행렬을 얻게 됩니다. 행렬의 곱은 매우 흔하게 사용되는 행렬 연산 중에 하나입니다. 그러므로 이것을 이용하는 것은 매우 유용합니다. 두 개의 행렬을 곱하기 위해서는, 곱해지는 행렬의 열과 곱하는 행렬의 행의 개수가 같아야 합니다. 이를 통해 얻어지는 행렬의 결과값은 곱해지는 행렬과 같은 수의 […]

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