Essential Mathematics for Computational Design 27 매듭-1

매듭 혹은 매듭벡터(Knots or knot vector)[1] 매듭(knot)이란 곡선의 차수에 그 컨트롤 포인트의 개수를 더한 뒤 여기서 다시 1을 뺀 만큼의 개수(차수+N-1, N은 컨트롤 포인트의 개수를 가진 수들의 목록을 의미합니다. 이러한 수의 집합을 매듭 벡터(knot vector)라고도 하는데, 여기서의 벡터는 3d에서 사용되는 방향을 의미하지 않습니다. 모든 NURBS 곡선들은 이 매듭 벡터라고 불리는 수들과 밀접한 연관을 가지고 있습니다. […]

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Essential Mathematics for Computational Design 26 NURBS곡선의 종류

NURBS 곡선의 종류 (NURBS curves) NURBS 란 수학적으로 매우 정확도가 높은 곡선과 곡면의 표현 방식이면서, 매우 직관적으로 편집이 가능합니다. NURBS에 관하여 심도 있게 다루고 있는 여러 글과 책들이 있으니 참고하시기 바랍니다. (http://en.wikipedia.org/wiki/NURBS) 가장 기본적인 이해는 여러분이 NURBS 모델링을 더욱 효과적으로 하는데 도움을 줄 것입니다.하나의 NURBS 곡선을 만들기 위해서는 4가지 요소 ‘차수(degree)’, ‘컨트롤 포인트(control points)’, ‘매듭(knots)`, […]

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Essential Mathematics for Computational Design 25 NURBS곡선

NURBS 곡선을 위한 De Boor[1] 알고리즘 (De Boor7 algorithm for evaluating NURBS curves) De Boor 의 알고리즘은 베지에곡선에 사용되는 De Castelijau 알고리즘을 일반화 시킨 것입니다. 이 알고리즘은 수적으로 더욱 안정적이며, NURBS 곡선상의 점을 계산하기 위해 널리 사용됩니다. 아래 그림은 De Boor 알고리즘을 이용하여 3차 NURBS 곡선 위에 있는 점을 계산하는 것을 보여주고 있습니다. [2] 이를 […]

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Essential Mathematics for Computational Design 24 매개변수곡선

매개변수곡선을 계산하기 위한 알고리즘 (Algorithms for evaluating parametric curves)   3차원 베지에곡선을 계산하기 위한 De Casteljau[1] 알고리즘 이는 반복적인 과정을 통하여 베지에곡선을 계산하기 위한 알고리즘으로 창시자인 Paul De Casteljau를 따라 그 이름이 붙여졌습니다. Grasshopper에서 De Casteljau 알고리즘을 이용하면 매개변수(parameter) t를 가지는 곡선상의 어떠한 점에서도 찾아낼 수 있습니다. 이를 위해서는 4개의 점 A,B,C,D와 곡선의 정의역(domain)인 0~1 […]

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Essential Mathematics for Computational Design 23 곡률

곡률(Curvature) 곡률이란 3D 곡선과 곡면의 모델링에 널리 사용되는 개념입니다. 곡률이란 한 점이 일정한 속도로 곡선의 호(ARC)를 따라 이동할 때 생기는 접선의 기울기(inclination)의 변화를 의미합니다. 원이나 구인 경우 곡률은 그 반지름의 역수입니다. 평면상에 있는 한 곡선이 있다고 합시다. 이 곡선의 어떤 지점에서도 그 지점의 곡선과 가장 유사한 선분은 바로 탄젠트 접선 입니다. 곡선의 한 점에서 그 […]

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Essential Mathematics for Computational Design 22 기하학적연속성

기하학적 연속성 (Geometric Continuity) 3d 모델링에서 연속성은 무척 중요한 개념입니다. 이는 특히 부드러운 표면을 표현하는데 중요합니다. 아래 표는 연속성의 종류와 그 정의를 보여줍니다. G0 위치연속(Position continuous) 두 곡선이 연결되었을 때 G1 접선연속(Tangent continuous) 두 곡선이 연결되었을 때 그 연결점에서 두 곡선의 접선(tangent)의 방향이 같을 때. G2 곡률연속(Curvature Continuous) 두 곡선이 연결되었을 때 그 연결점에서 두 […]

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Essential Mathematics for Computational Design 21 3차 곡선

3차 곡선(Cubic polynomial curves ) 에르미트(Hermite) [1]곡선과 베지에(Bezier) [2] 곡선은 3차 곡선의 두 예입니다. 이들은 네가지 매개변수에 의하여 정의됩니다. 에르미트 곡선은 두 끝점과 이 점에서의 탄젠트 벡터(tangent vectors)로 정의됩니다. 베지에 곡선은 4개의 점으로 정의됩니다. 이 둘은 수학적으로 다르지만 그 둘의 특징과 한계는 매우 유사합니다. 대부분의 경우, 곡선은 여러가지 요소들에 의하여 만들어집니다. 이 요소들은 구간적 3차 […]

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