Essential Mathematics for Computational Design 23 곡률

곡률(Curvature)

곡률이란 3D 곡선과 곡면의 모델링에 널리 사용되는 개념입니다. 곡률이란 한 점이 일정한 속도로 곡선의 호(ARC)를 따라 이동할 때 생기는 접선의 기울기(inclination)의 변화를 의미합니다. 원이나 구인 경우 곡률은 그 반지름의 역수입니다.
평면상에 있는 한 곡선이 있다고 합시다. 이 곡선의 어떤 지점에서도 그 지점의 곡선과 가장 유사한 선분은 바로 탄젠트 접선 입니다. 곡선의 한 점에서 그 곡선에 가장 가까운 원, 즉 접촉원(the best approximating circle)의 반지름을 그 점에서의 ‘곡률 반경(radius of curvature)’ 이라고 합니다.
이러한 접촉원은 곡선의 양쪽에 있을 수 있습니다. 이를 위해 일정한 규칙(convention)이 필요합니다. 만약 접촉원이 곡선의 왼쪽에 있다면 이것의 곡률은 양수가 됩니다. 접촉원이 곡선의 오른쪽에 있다면 곡률은 음수가 됩니다. 이것을 ‘부호가 있는 곡률(signed curvature)’이라고 합니다.
아래 그림에서 보시는 것 처럼 결합(join)된 두 곡선의 곡률값은 두 곡선의 연속성을 의미합니다.

곡면에서의 ‘법선 곡률(normal curvature)’은 곡면의 곡률을 하나로 일반화 시킨 것입니다. 곡면 위에 하나의 점과 그 점의 접평면(tangent plane)상에 특정한 방향이 주어졌다고 합시다. 이 점의 ‘법선 단면 곡률(normal section curvature)’은 해당 곡면과 그 점 위에서의 법선과 위에서 주어진 방향값(역자 주:  즉, 두 벡터)들이 만들어내는 평면을 교차시킴으로써 얻을 수 있습니다. 이렇게 얻어진 곡선(역자 주: 곡면과 위 평면을 교차시켜 얻은) 에서 처음 주어진 점의 곡률을 바로 ‘법선 단면 곡률’은 입니다. 이 곡률은 양수 음수 모두 될 수 있습니다.

만약 곡면 위 계산을 그 방향값만 바꿔가며 계산한다면 우리는 그 점 에서의 곡률의 최대값과 최소값을 계산할 수 있습니다. [1]

주곡률(Principal Curvatures)
한 점에서 곡면의 ‘주곡률(Principal Curvatures)’은 그 점의 ‘법선 곡률’의 최대값이자 최소값과 같습니다. 주곡률은 ‘가우시안 곡률(Gaussian curvature)’와 ‘평균 곡률(Mean Curvature)‘을 계산하는데 사용됩니다.

가우시안 곡률(Gaussian Curvature)
곡면상의 한 점에서 ‘가우시안 곡률’은 지점의 주곡률들의 곱의 결과물(product)에 의해 결정됩니다. 곡면상의 한 점이 양수의 ‘가우시안 곡률’을 가지면 그 점의 접평면(tangent plane)은 해당하는 곡면과 그 점에서만 만나게 됩니다. 반면 음수의 ‘가우시안 곡률’을 가지는 점에서의 접평면은 해당 곡면과 그 점뿐만 아니라 평면을 가로질러 만나게 됩니다.

A: 곡면이 볼록한 경우(그릇과 같이 생긴 경우) 가우시안 곡률은 양수입니다.
(역자 주: 위 그림에서 두 곡선이 마주치는 지점을 생각해보면, 그 곡률이 모두 양수입니다. 이 둘의 곱값은 양수입니다.)

B: 곡면이 오목한 경우(말안장과 같이 생긴 경우) 가우시안 곡률은 음수입니다.

(역자 주: B 그림의 경우 두 곡선이 각기 다른 방향으로 형성되어 만나고 있습니다. 이 둘의 곱은 음수입니다.)

C: 원통처럼 곡면이 적어도 한 방향으로 평평하다면, 그 곡면의 가우시안 곡률은 O입니다. (이 경우 한 곡선의 곡률이 0이므로 그 둘의 곱은 0이 됩니다.)

평균 곡률(Mean Curvature)
곡면 상의 한 점에서의 ‘평균 곡률(mean curvature)’은 그 점의 주곡률의 평균값과 같습니다.[2] 어떤 곡면의 평균 곡률이 0인 경우, 이 곡면의 가우시안 곡률은 0이거나 음수가 됩니다.

모든 점에서 그 평균 곡률이 0인 곡면을 ‘극소 곡면(minimal surface)’라고 합니다. 모든 점에서 일정한 평균 곡률을 가지는 곡면은 ‘균일 평균 곡률(constant mean curvature, CMC)곡면’ 이라고 합니다.

이러한 ‘균일 평균 곡률 곡면’으로 일반화 수 있는 물리적 현상의 예로는 ‘비누거품’이 있습니다. 비누거품이 스스로 곡면을 이룰 때나 다른 물체에 붙어 있을 때 모두 가능합니다. 비누 거품은 단순한 ‘비누 막’과 다르게 일정한 체적을 가집니다. 그 내부의 기압이 외부보다 아주 약간 높은 경우 평행상태(equilibrium)을 이루게 되며, 이 때의 표면은 비누 방울의 성질에 의하여 같은 체적을 둘러쌀 수 있는 최소한의 표면적을 가지게 됩니다.

‘극소 곡면’이란 ‘균일 평균 곡률 곡면’에 포함되는 개념으로 곡면상에 있는 모든 지점에 그 곡률이 의 곡률이 0인 곡면을 의미합니다.

이러한 ‘극소 곡면(minimal surface)’에 일반화 될 수 있는 물리 현상으로는 ‘비누막’이 있습니다. 이는 보통 철사고리와 같은 고정된 물체로부터 형성됩니다. 비누 막은 양쪽의 기압이 일정하기 때문에 기압에 의하여 변형이 일어나지 않으며 가장 작은 표면적을 가집니다. 평균 곡률은 곡면 위에서 그 곡률의 변화가 극심한 부분을 찾는데 매우 유용합니다.
모든 지점에서 평균곡률이 0인 곡면을 ‘극소곡면(minimal surface)’[3] 이라고 합니다.

[1] 역자 주: 곡면의 점에서 그 법선을 포함하며 곡면과 교차하는 평면을 그린 뒤 그 평면을 법선을 기준으로 돌려가며 곡면과 계속해서 교차시킨다고 합니다. 이 경우 곡면 위에서 그 점을 중심으로 하는 수많은 곡선을 얻을 수 있습니다. 이 중 그 점에서 가장 큰 값과 작은 값을 가진 두 곡선이 바로 이 점에서의 주곡률이 됩니다.
[2] 역자 주: 평균곡률 = (최대 곡률 + 최소곡률)/2
[3] 역자 주: 기하학이나 변분학에서 사용하는 용어. 주어진 곡면에 충분히 가까운 어떤 곡면의 경계 내에 있는 부분의 넓이보다 작을 때의 곡면을 극소곡면이라고 한다. http://100.naver.com/100.nhn?docid=26150)

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