Essential Mathematics for Computational Design 21 3차 곡선

3차 곡선(Cubic polynomial curves )

에르미트(Hermite) [1]곡선과 베지에(Bezier) [2] 곡선은 3차 곡선의 두 예입니다. 이들은 네가지 매개변수에 의하여 정의됩니다. 에르미트 곡선은 두 끝점과 이 점에서의 탄젠트 벡터(tangent vectors)로 정의됩니다. 베지에 곡선은 4개의 점으로 정의됩니다. 이 둘은 수학적으로 다르지만 그 둘의 특징과 한계는 매우 유사합니다.

대부분의 경우, 곡선은 여러가지 요소들에 의하여 만들어집니다. 이 요소들은 구간적 3차 곡선(piecewise Bezier curve)을 만들기 위해서 필요합니다. 아래는 구간적 베지에 곡선의 예로 10개의 점(storage point)을 이용하여 3개의 구간을 가진 곡선(a three-segment curve)를 나타낸 것입니다. 이 곡선들이 아래 그림과 같이 연결(join)되어도 이것이 부드럽게 연결되지는 않습니다.

에르미트 곡선이 베지어 곡선과 같은 4개의 매개변수를 사용한다고 하여도, 탄젠트라는 추가적인 방향 정보를 가지고 있습니다. 에르미트 곡선들을 연결할 때 이러한 방향정보를 이용하여 각 끝점의 방향을 일치키시면 적은 용량으로도 더욱 부드러운 곡선을 표현할 수 있습니다.

더욱 부드럽고 연속적인 곡선을 표현하기 위해 찾아진 방식 중 가장 강력한 것으로, Non Uniform Rational B-Spline[3] (NURBS)가 있습니다. 곡선 조각들은 적은 정보량으로 더욱 부드러운 곡선을 포현하기 위해 더 많은 컨트롤 포인트를 공유하게 됩니다.

NURBS 곡선과 곡면(surface)들은 Rhinoceros에서 기하체를 표현하기 위해 사용됩니다. NURBS곡선들의 특징과 요소들은 이 챕터의 뒷 부분을 통해 더욱 자세하게 다뤄질 것입니다.

3차 곡선의 매개변수 방정식은 다음과 같습니다. 일반적인 모델링 작업에서 이러한 공식을 사용할 가능성은 거의 없지만, 이것을 참고적으로 이해하는 것은 도움이 될 것입니다.
3차 곡선의 매개변수 방정식은 다음과 같습니다.

이를 아래와 같이 바꿔 쓸 수 있습니다.

x(t) = axt 3 + bxt 2 + cxt + dx

y(t) = ayt 3 + byt 2 + cyt + dy

z(t) = azt 3 + bzt 2 + czt + dz

Q(t) 방정식은 아래와 같이 써질 수 있습니다.

Q(t) = C. T

T가 다음과 같고

C가 계수 행렬(the matrix of coefficients)이라고 한다면

행렬의 곱을 이용한 곡선 방정식은 다음과 같습니다.

[1] 더 많은 정보를 위해서는 http://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_Hermite_spline 를 참조하세요.
[2] 더 많은 정보를 위해서는 http://en.wikipedia.org/wiki/B%C3%A9zier_curve 를 참조하세요.
[3] 더 많은 정보를 위해서는 http://en.wikipedia.org/wiki/Non-uniform_rational_B-spline 를 참조하세요. 

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