Essential Mathematics for Computational Design 20 곡선과 곡면

3. 매개변수에 의한 곡선과 곡면(Parametric Curves and Surfaces)
 
소개
파라메트릭 곡선(Parametric Curve)는 부드러운 형태의 곡선을 매우 간단하면서도 직관적으로 표현할 수 있는 방법입니다. 또한 다른 방식의 곡선 표현에 비하여 그 수정이 훨씬 쉽습니다. 예를 들어, 1차인 폴리 라인(Polylilne)으로 부드러운 곡선을 표현하기 위해선 이것을 분절된 직선들의 연속으로 나타내게 됩니다. 이를 표현하기 위하여 많은 점들이 필요하게 되며 곡선의 곡률을 유지하며 수정을 하기가 무척 어렵습니다. 더 높은 정확도의 곡선을 위해서는 더 많은 점이 필요하므로 그것을 표현하기 위한 데이터의 크기가 훨씬 커지게 됩니다.
 

파라메트릭 곡선은 하나의 독립적 매개변수(parameter)에 대한 함수로 나타납니다. 이 매개변수의 정의역은 일반적으로 0에서 1까지 입니다. (보통 t 로 표현됩니다.)[1]

 
어떠한 사람이 걷고 있다고 가정합시다. 이 경우 사람의 위치에 대한 정의역은 ‘시간’으로 시간의 변화에 따라 사람의 위치가 변합니다. 이 정의역은 걷기 시작한 점과 그 끝점으로 표현될 수 있습니다.
원을 예로 들어 봅시다. 원의 방정식은 다음과 같습니다.

x2 + y2 = r2

이것을 매개변수 ‘t’에 관한 방정식으로 표현하면

x = r cos(t)

y = r sin(t)

로 나타낼 수 있습니다.

다음을 통하여 두 방정식이 같은 곡선을 나타내는 것을 확인할 수 있습니다.

x/r = cos(t)

y/r = sin(t)

cos(t) 2 + sin(t) 2 = 1

이므로

(x/r) 2 + (y/r) 2 = 1, or x2 + y2 = r2

입니다. 이로서 위 두 방정식이 모두 원을 표현하고 있는 것을 알 수 있습니다.


[1] 더 많은 정보를 위해서는 http://en.wikipedia.org/wiki/Parametric_equation 를 참조하세요.

 

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