Essential Mathematics for Computational Design 12 평면의 벡터 방정식

평면의 벡터 방정식(Vector equation of a plane)

위의 예시에서

P0(x0,y0,z0 ) = 평면상에 주어진 한 점
r0<x0,y0,z0> = P0 까지의 위치 벡터
n<a,b,c> = 평면의 법선벡터
P(x,y,z) = 평면위의 한 점
r<x,y,z> = P로 향하는 위치벡터

직교하는 두 벡터의 내적은 0이므로,

n . (r r0) = 0

입니다.

이를 다르게 표현하면

<a,b,c> . <x-x0 , y-y0 , z-z0 > = 0

라 할 수 있습니다.

이 내적을 평면의 스칼라 방정식을 이용하여 풀면 이는 다음과 같습니다.

a(x-x0) + b(y-y0) + c(z-z0) = 0

3개의 점을 통과하는 평면이 있다고 했을 때, 그 평면을 하나의 점과 평면의 법선을 이용해서 찾을 수 있는지를 알아보겠습니다.

하나의 평면을 정의하기 위해서 우리는, 그 평면의 원점과 법선이 필요합니다.

원점은 우리에게 주어진 세 점 중 하나를 사용하면 됩니다. 법선은 어떻게 찾을 수 있을까요?

우리는 두 벡터를 외적 하여 생기는 세 번째 벡터는 기존 두 벡터 모두와 직교하는 것을 알 고 있습니다. 이것을 법선으로 사용하면 됩니다. 다음 그림은 그러한 방식을 보여주고 있습니다.

그림 21 3개의 점을 지나는 평면 찾기

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