Essential Mathematics for Computational Design 11 벡터의 방정식

벡터의 방정식 (Vector equation of line)

벡터의 선의 방정식은 3d 모델링 툴과 컴퓨터 그래픽스에서 응용되고 있습니다. 다음은 그 공식들과 그것들이 어떻게 사용되는 지를 설명해 놓은 것입니다.

위와 같은 그림에서

L = 선분(line )

v = 선벡터(line direction vector)

P0 = line position point

r = r0 + a — (1)

a = t * v — (2)

그러므로 1과 2에 의하여 다음이 성립합니다.

r = r0 + t*v — (3)

우리는 (3)을 다음과 같이 표면할 수 있습니다.

<x,y,z> = <x0,y0,z0> + <ta, tb, tc>

<x,y,z> = <x0+ta, y0+tb, z0+tc>

그러므로

x = x0 + ta

y = y0 + tb

z = z0 + tc

이는 다음과 같습니다.

P = P0 + tv

아래는 선분 위에서 점을 찾아내기 위한 Grasshopper 정의 입니다.

 

그림 19 선분 위의 점 찾기


 

예시

다음의 그림에서 P0과 P1, f그리고 중점 P가 있다면

a는 P0을 끝점으로 하는 위치벡터 입니다.

b는 P1을 끝점으로 하는 위치벡터 입니다.

v는 P0에서 P1로 향하는 벡터 입니다.

벡터의 합의 법칙에 따르면

a + v = b 혹은 v = b a 입니다.

반면 선분의 방정식은: P = P0 + t*v 이며, t=0.5 이고 v=ba 이므로

P = P0 + 0.5(ba)

입니다.

위 방정식을 Grasshopper를 이용하여 나타내면 다음과 같습니다.

그림 20 점 사이의 중점 찾아내기

그림 20 점 사이의 중점 찾아내기


일반적으로, 0과 1 사이에서 t 값을 변화시키면 선분 위의 어떤 점이라도 찾아낼 수 있습니다.
 
———–
수정에 대한 제안이 있으시면 댓글을 달아주시기 바랍니다.
 

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s