Essential Mathematics for Computational Design 10 외적의 속성

외적의 속성(Cross product properties)

a, b,그리고 c 가 벡터이고 s 가 스칼라이면 그 연산은 다음과 같습니다.
 

1. a X b = –b X a

2. (sa) X b = s(a X b) = a X (sb)

3. a X (b + c) = a X b + a X c

4. (a + b) X c = a X c + b X c

5. a . (b X c) = (a X b) . c

6. a X (b X c) = (a . c)b – (a . b)

 

예시

이때까지 살펴본 개념들은 우리가 모델링을 하면서 만나게 되는 기하학적 문제(geometry problem)들에 바로 적용될 수 있습니다. 예를 들어서, 하나의 점과 하나의 면이 있다고 가정합니다. 그렇다면 그 점이 면의 앞쪽에 있는지 뒤쪽에 있는지 어떻게 알 수 있을까요?
그것을 알아내는 과정은 다음과 같습니다.


1. 면과 점을 정의합니다.
2. 점을 면으로 끌어 당깁니다.
3. 끌어당겨진 점에서 시작하여 점의 원래 위치에서 끝나게 되는 벡터를 정의합니다.
4. 이 벡터의 방향을 면이 가지는 법선 방향(normal direction)과 비교합니다.

아래는 위 과정을 Grasshopper를 이용하여 나타낸 것입니다. 이 경우 내적은 0보다 커야 하며 이는 점이 면의 앞에 위치하고 있다는 것을 나타냅니다. 만약 내적이 0보다 작다면, 이는 점이 면의 뒷면에 위치한다는 것을 의미합니다.

그림 18 점의 위치와 면의 앞뒷면의 상관관계를 알아보기

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