Essential Mathematics for Computational Design 07

내적과 벡터들 사이의 각 (Dot product and angle between vectors)

다음은 벡터의 내적에서 가장 중요한 정리입니다.

a.b = |a||b|cos(θ)

cos(θ) = a.b / (|a||b|),

θ는 위치벡터 사이의 각도 입니다. Ab 벡터가 단위벡터라면 이것의 길이는 1이기 때문에 이는 다음과 같이 정리될 수 있습니다.

cos(θ) = a.b

두 단위벡터의 내적의 결과물은 그 사이의 각에 코사인을 취한 것과 같은 값입니다.

증명



코사인의 법칙에 의하면 삼각형 ABC가 있을 때
|AB|2 = |CA|2 + |CB|2 – 2|CA||CB|cos(θ)
혹은
|ab|2 = |a|2 + |b|2 – 2|a||b|cos(θ) — (1)
가 성립합니다
|AB|2 는 |a-b|2와 같으므로, 이는
|ab|2 = (ab) . (ab)
= a.aa.bb.a +b.b
= |a|2 – 2a.b +|b|2 — (2
와 같습니다.

(1)과 (2)로부터

|a|2 – 2a.b +|b|2 = |a|2 + |b|2 -2|a||b|cos(θ)
를 얻을 수 있으므로 이는
2a.b = 2|a||b|cos(θ)

혹은

cos(θ) = a.b / (|a||b|)

와 같습니다.

벡터 ab가 직각으로 만난다면, a.b=0 이다.
하지만 평행인 두 단위 벡터를 내적하면 어떻게 될까요?

가장 쉽게 생각할 수 있는 방법은 두 벡터를 내적할 경우 이는 각각의 벡터가 서로에 투영된 길이라고 볼 수 있습니다. 다음은 Grasshopper를 이용하여 위 개념을 나타낸 것입니다. 이 중 첫 번째 그림에서는 x축 단위 벡터와 v라는 벡터를 내적한 것입니다. 두 번째 그림에서는 벡터v의 끝점을 x축 위로 평행 이동 한 뒤 그 이동 거리를 계사나한 것입니다. 이를 통하여 내적과 투영 거리는 같다는 것을 확인하실 수 있습니다.

그림 14 벡터의 내적과 두 벡터 사이의 각

 

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수정에 대한 제안이 있으시면 댓글들 남겨주시기 바랍니다.

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