Essential Mathematics for Computational Design 01

본 번역은 원작자인 Rajaa Issa 와의 합의에 의해 이뤄진 것임을 밝힙니다. 본 번역은 유기찬 선생님과 공동으로 작업하였습니다. 번역을 하면서 연재 형식으로 유기찬 선생님과 저의 블로그에 게시될 것이며, 번역이 모두 끝나면 pdf 형식으로 합본을 배포하게 될 것입니다. 퍼가실 경우 퍼가시는 곳과 출처를 명시해주셨으면 합니다.

Essential Mathematics for Computational Design

1. 벡터(Vector Mathematics)

벡터를 표현하는 방식(Vector representation)

벡터는 힘(force)나 속도(Velocity)처럼 방향(direction)과 강도(magnitude)를 가지는 양을 의미합니다. 2차원 좌표계에서의 벡터값은 두 개의 실수로 표현 됩니다.

v= <a1, a2>

이와 마찬가지로, 3차원 좌표계에서는 세계의 실수로 표현 할 수 있습니다.

v = <a1, a2, a3>

이하에서 벡터값은 짙은 소문자 v, 벡터를 표현하는 실수들은 <> 안에 표현 될 것입니다.

점들은 대문자로 표현될 것이며, 점들의 좌표는 ( )안에 표현될 것입니다.

좌표계나 주축점(Anchor Point)으로 표현된 점과 선분을 이용하여 벡터를 시각화 할 수 있습니다. 일반적으로 선분의 끝에 화살촉표시를 하여 이러한 벡터들의 방향을 나타냅니다. 예를 들어, 3D 좌표상에 X축에 평행하며 5.18의 강도(magnitude)를 가진 하나의 벡터가 있다고 합시다. 그러면 우리는 그 벡터값을 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

v = <5.18, 0, 0>
이 벡터값을 좌표상의 벡터로 표현하기 위해서는, 먼저 좌표계 내의 주축점이 필요합니다. 예를 들어, 아래 그림에 있는 모든 붉은색 선분들은 위와 동일한 벡터값을 가진 벡터들입니다.

그림 1 3D 좌표계서 벡터의표현. 1. 번은 Grasshopper의 unit X 컴퍼넌트, 2. Grasshopper 의 ‘sllider’ 컴퍼넌트, 3. Grasshopper의 ‘point’ 컴퍼넌트 (이는 v1, v2, v3, v4 의 라이노상 ‘주축점’이 설정되어 있다), 4. Grasshopper 내 vector display 컴퍼넌트.

v= 이라는 벡터값이 주어졌을 때 a1, a2, a3는 실수이다. 또한 이것을 이용한 v는 점A(x,y,z)에서 시작하여 점B((x+a1, y+a2, z+a3)에서 끝나는 선분으로도 표시될 수 있다.

위에 주어진 벡터의 끝점을 정의하는 방식은 다음과 같습니다. 먼저 Grasshopper의 ‘x,y,z point’ 컴퍼넌트를 이용하여 (P0)이라고 하는 시작점을 설정할 수 있습니다.

P0 = (1,2,3)

또한 세 개의 정수를 인풋으로하는 ‘xyz vector’ 컴퍼넌트를 이용하여 다음과 같은 벡터값을 만들수 있습니다.

v = <2,2,2>

이 둘을 이용한 벡터의 끝점(P1)은 시작점 P0=(x,y,z)의 좌표와 이에 상응하는 벡터값 v = <2,2,2> 의 합의 결과물로 나타나게 됩니다.

P1 = (1+2, 2+2, 3+2) = (3,4,5)

아래의 그림은 위의 내용을 Grasshopper의 ‘vector display’ 컴퍼넌트를 이용하여 표현한 것입니다. 이 컴퍼넌트의 A에 위의 시작점(Anchor point) P0 =(1,2,3)를, V에 벡터값 v = <2,2,2> 을 연결하면 다음과 같은 벡터가 만들어 집니다. 이 벡터의 끝점은 상응하는 값들을 더한 값을 좌표로 하는 점 P1 과 일치하는 것을 보실 수 있습니다.

그림 2 벡터와 벡터의 시작점과 끝점, 그리고 끝점에 일치하는 점들 사이의 관계

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